Odd Ratio和$\beta$｜logistic & linear

区分GWAS summary statistics中的是effect是odd ratio还是$\beta$（即回归系数）时，需要考虑进来的一个因素：

经常看到的$log(odd\,\,ratio)$是为了logistic regression的方便求解

• GWAS到底是针对binary phenotype开展的还是针对conitnuous phenotype开展的？

  • 如果是针对binary phenotype，即case和control开展的，那么在构建回归模型来估计每个SNP对phenotype的影响时，使用的是logistic回归，最后计算的是一个阈值（概率），超过了即case，没有超过则是control。

    • logistic regression中的odd ratio是两个对立事件发生的概率做了一个比值：$\frac{p}{1-p}$

      • 数值的正负决定了variable（e.g.，SNP）和outcome关联的方向性
      • 计算过程中是保持了之前所有units（e.g.，SNP的累积之和）不变的情况下，当前加入的SNP unit对outcome的影响

    • association test中的odd ratio是基于列联表的计算，两种方法的计算本质实际上是一样的：

      $\frac{a*d}{b*c}$

      • 一般考量的是exposure和outcome之间的关系，最常见的即case和control，且列联表中element的位置变了，odd ratio的结果和含义也就都变了。

      

Odd Ratio｜计算原理

斯坦佛大学这张slides解释的非常清晰：首先计算odd，再计算odd ratio

• 比如genotype AT出现的情况下，individual患病的概率是0.8。这是一个明显的条件概率问题。而当genotype TT出现的情况下，individual患病的概率则是0.2。

  从这里其实就可以观察到不同的genotype对individual是否有对应disease的susceptability是不同的，但是如何量化？答案即odd ratio。

  • 针对同一个genotype，其出现的情况下，患病和不患病之间的差距是多大？

    $odd = \frac{P(Disease|G_{AT})}{P(non-Disease|G_{AT})}$

  • 针对两个genotype，患病和不患病之间的差距有多大？

    $odd\,\,ratio = \frac{\frac{P(Disease|G_{AT})}{P(non-Disease|G_{AT})}}{\frac{P(Disease|G_{TT})}{P(non-Disease|G_{TT})}}$

上述的概率，在logistic regression是可以直接拟合出来的。但是在association test中实际上一样，

• 下述计算odd ratio的意义是为了比较C allele相较于T allele对disease occurrence的影响，

  而这个式子（$OR_{C} = \frac{875*1940}{1860*675}$）可以拆开看：

  • 在C allele出现的情况下，individual患病的概率可以直接通过古典概型计算：$P(Diseaase|C)=\frac{875}{875+1869}$，同样的$P(Diseaase|non-C)=\frac{1860}{875+1860}$
  • 而在计算整体的odd ratio时，分母均被消除了，直接简化成了如下的式子，本质上和logistic regression是一致的。

参考资料

• www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc...

• Understanding Logistic Regression — the Odds Ratio, Sigmoid, MLE, et al

• 笔记 | GWAS 操作流程3：plink关联分析--完结篇

• 斯坦佛：Odd以及Odd ratio的计算