Weir and Cockerham | Weighted $F_{ST}$计算公式

Wright提出的FST原始版本，并没有考虑到sample size对$F_{ST}$计算的影响，因此才有了之后Weir and Cockerham对$F_{ST}$计算的改进。

而在展开介绍Weir和Cockerhem是如何计算$F_{ST}$之前，先看看Wright是如何计算，

• F，the correlation of genes within individuals（inbreeding）
• θ，the correlation of genes of different individuals in the same population
• f，the correlation of genes within individuals within populations

θ，即指代$F_{ST}$。

在WC $F_{ST}$ estimator中，其计算公式如下，

Note：该版本计算得到的FST，与vcftools略有不同，尚且认为是自己写作了吧。

但是上述文献中最终给出的，也仅仅是FST的最终计算公式，没有给出一个更加详尽的推导。

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Weir | $F_{ST}$推导

如下的理解来自02年Weir发表对应文献/tutorial。

首选需要阐明的几个点，

• $θ$（$F_{ST}$），从最简单的意义上可以理解为两个allele来自同一个ancestor的概率，即IBD（identity by descent），但是更为直观的general，则为从任意一个或不同的population中抽样得到两个allele，他们之间的correlation coefficient

1）假设现在一个sample中，第j个allele，若其碱基类型为μ，则等于1；若其碱基类型不为μ，则等于0。用$x_{jμ}$来表示，

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那么现在针对期望population allele frequency为如下的形式，

Note：此处公式存在一点问题（个人角度），应该论述为$ε(\frac{\sum_{n=i}^{n}x_{ju}}{n})=p_{μ}$

• ε，代表$E(X)$

• $ε(x_{ju}\,\,x_{j^{'}μ}) = E(x_{ju}\,\,x_{j^{'}μ}) = E(x_{ju})E(x_{j^{'}μ)}) + Cov(x_{ju},x_{j^{'}μ})$

  当$x_{ju}=x_{j^{'}μ}$，则$Cov(x_{ju},x_{j^{'}μ})=Var(x_{ju})=p_{μ}(1-p_{μ})$，但是因为两者不相等，所以需要用θ来平衡他们之间的关系，而从生物学意义的角度来理解，

  若第j位和第j'位之间，完全不存在联系，完全不可能是IBD，则$ε(x_{ju}\,\,x_{j^{'}μ}) = E(x_{ju})·E(x_{ju}) = p_{μ}^{2}$

  若第j位和第j'位之间，在一定程度上是IBD，则需要接着考虑θ。

2）但是现在不从一个sample的角度考虑，而是从2个population之间的角度考虑，

Note：若前提为non-random mating，则说明两个群体之间存在了divergence、isolation等

因此，此时的$θ$进一步引申为了衡量population differentiation的指标。

而针对sample allele frequency则由如下的公式计算得到，

且由于不同population size，抽样得到的sample计算出来的$\tilde{p}_{μ}$存在偏差（Nicolas提出其服从参数为$p_{u}，π_{μ}·θ_{μ}$的正态分布）

而Weir于1984年提出的Weighted $F_{ST}$，为了消除不同population size对衡量$θ$的影响，构建了如下的两个平方差，

最终$\hat{θ}_{Mμ}$则表示为，

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推荐阅读

Note：我看了很久还是没看懂。。得再看看

• Estimating and interpreting FST: The impact of rare variants（Nick Patterson，2013年Review）
• weirhill_annrevgenetFst_2002.pdf
• Estimating F-Statistics for the Analysis of Population Structure（1984年，Weir原文）

题外话

用bedtools + R tidyverse来计算每个gene的FST忒慢了（这怎么“Have a nice day”），欢迎有缘人后台留言优秀方法！